Exponente de Hurst y Movimiento Browniano

He escrito este artículo según las ideas me iban viniendo a la cabeza, no se si estará bien estructurado pero tengo que escribir algo antes de que se pierda en mi cabeza para siempre.

La desviación del precio es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo, según el libro de Regnault escrito en 1863: Calcul des chances et philosophie de la Bourse.

Cuando estaba estudiando metodologías de cointegración, Aris David, un matemático que conocí por internet, tenía desarrollada una herramienta en Matlab que calculaba el número de días que tardaría el precio en revertir a la media.

Este fin de semana mientras leía de nuevo El cisne negro de Taleb, indicaba que en un mundo escalable, cuando los precios se desvían de la media, es mucho más probable que se sigan desviándose cada vez más y más de la media en vez de retornar a esta. Entonces me acordé del indicador de las bandas de bollinger, como la banda de abajo indica que el precio está desviado -1 desviación estándar de la media y la superior +1 desviaciones estándar y pensé que aplicando la fórmula de arriba se podía multiplicar por la raíz cuadrada del tiempo (t elevado a ½ ) para determinar cuando el precio iba a volver a la banda de en medio. Entonces pensé que cuando más se desviara, lógicamente más tiempo tardaría en volver a la banda de en medio del canal.

Acto seguido cogi el libro de Mandelbrot titulado Fractales y Finanzas y en una de las páginas había un gráfico parecido a este, donde Hurst  se dio cuenta de que el rio Nilo no aumentaba según una proporción cuadrática, sino de otro tipo y escribió un artículo diciendo que el exponente no era 0,5 sino que podría ser 0,75 por ejemplo, o superior a 1.

Cuando más grande sea ese exponente, querrá decir que en el grafico predominan más las tendencias como se puede apreciar en la foto de arriba. El caso es que seguí investigando en Internet y había un artículo titulado Is Hurst Exponent Value Useful in Forecasting Financial Time Series?  Del autor S.K. Mitra. En él habían calculado el exponente de Hurst para varios índices de la bolsa y vemos como la mayoría se acerca mucho a 0,5 para gráficos de un dia.  Esta es la tabla:

Esto indica que el movimiento de los índices está muy próximo al movimiento browniano que Einstein desentrañó en su día. El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo, polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor al escocés Robert Brown, biólogo y botánico que descubrió este fenómeno en 1827 y observó que pequeñas partículas de polen se desplazaban en movimientos aleatorios sin razón aparente. En 1785, el mismo fenómeno había sido descrito por Jan Ingenhousz sobre partículas de carbón en alcohol. El caso es que, para estudiar este movimiento los físicos habían creado un experimento que consistía en dejar una placa transparente de laboratorio (Placa de Petri) inclinada 45 grados hacia abajo, y habían situado arriba un pequeño grifo correctamente milimetrado y habían aislado esa sala. Pues el caso es que el movimiento de la gota de agua una vez ha caído encima del vidrio  viene determinado por la siguiente formula, según Einstein:

Max – Min = desvEst*(tiempo) ^0,5

No hace falta que os imaginéis ese experimento tan complicado, pensad por ejemplo cuando vais en el coche, está lloviendo y miráis por la ventana,  en el vidrio cuando las gotas se desplazan siguiendo el movimiento browniano:

Evidentemente, como veis, al irse moviendo hacia la izquierda, el exponente no será 0,5 por que el cristal debería estar prefectamente recto y en condiciones idóneas, será un poco mayor, con tendencia hacia la izquierda como veis.. ¿Cuánto podría medir? ¿0,7? ¿1? No lo sabemos.

Pues en el experimento al ser perfecto, con condiciones perfectas y el cristal completamente liso debería moverse verticalmente hacia abajo. PUES NO! La gota de agua  se movia de una forma parecida a esta y llegaron a la conclusión que hay cierta información intrínseca que no se puede determinar, y se definió el concepto de Entropia que es el componente aleatorio de todo fenómeno de la naturaleza que no puedes medir. Que no sabes porque pero está ahí, ¡igual que en los índices de precios! 

Pero bueno vamos a lo práctico que es lo que nos gusta Ahora el IBEX35 está cotizando a 8563,90 el máximo del índice es 8,602 y el mínimo es 8526,70 en barras de un dia. Si queremos calcular por ejemplo donde estará el IBEX de aquí a 3 meses (para hacerle la competencia a Hugo que dijo que llegaría a los 10.000 ;) pues vamos a ver (8602-8526,70) * RaizCuadrada (60) = 75,3 * RaizCuadrada (60) pues subirá o bajará + o – 583,27 puntos. Estos cálculos se pueden ir ajustando para hacer predicciones más específicas dia a día. Ahora la pregunta que yo me hago es… ¿Hacia arriba o hacia abajo? Tal vez para un próximo artículo jaja. Un abrazo!

PD: Calculad el exponente de Hurst con velas de 1 semana y luego con velas de 1 mes. Así a ver si conseguimos entre todos que se le quitan las ganas a alguno de hacer intradías :)